Kniha je zrkadlo – keď sa však do neho díva opica, nemožno v ňom vidieť apoštola ani mudrca.

 

Poučka starých kantorov o fázovom posune medzi napätím a prúdom na cievke: “ U cievky je to ako u dievky, najprv napätie potom prúd „.

 

Štartovacia logická úloha:

    Tlmivka s masívnym železným jadrom váži 2 kg a pol tlmivky. Koľko vážia tri tlmivky?

---

 5.1 Definícia, značky, základné vlastnosti a rozdelenie

 

    Cievka (solenoid) je dvojpólová reaktančná súčiastka, realizujúca veličinu resp. vlastnosť – vlastnú indukčnosť (ďalej v texte iba indukčnosť).

Pozn.: často sa v textoch pojmy cievka a indukčnosť stotožňujú, správne je cievka konštrukcia – súčiastka, indukčnosť - ňou realizovaná vlastnosť.

    Jednotkou indukčnosti je henry (H), menšie jednotky: mH, µH. Cievka s masívnym jadrom a veľkou indukčnosťou (>xH) sa nazýva tlmivka. Indukčnosť je prejavom platnosti indukčného zákona v magnetickom poli, ktoré cievka vytvára prechodom vlastného prúdu. Ak tečie cievkou jednosmerný prúd I, vytvára v okolí mg. pole a v dutine celkový magnetický tok φ. Fyzikálny definičný vzťah pre indukčnosť je:

  kde n je počet závitov cievky.

Vzorec platí v diferenciálnej forme aj pre striedavé veličiny:

  resp. 

 

Pozn.: aj keď vo vzorci vystupuje prúd I, lineárna indukčnosť je od prúdu nezávislá, pretože veľkosť magnetického toku je úmerná prúdu. Indukčnosť sa niekedy definuje aj z indukčného zákona, konkrétne z veľkosti indukovaného napätia na cievke pri striedavom prúde:

  (1H je indukčnosť cievky, na ktorej sa pri lineárnej  zmene prúdu o 1 A za čas 1s indukuje napätie 1 V). Indukčnosť cievky spôsobuje niektoré účinky – vlastnosti, napr. vznik zdanlivého odporu – reaktancie pre striedavý prúd a fázový posun medzi prúdom a napätím. Veľkosť reaktancie ideálnej cievky je: ,  fázový posun .

Reaktancia priamo závisí od frekvencie, preto je ideálna cievka reaktančný prvok.

    Ideálna cievka (indukčnosť) je charakterizovaná menovitou hodnotou indukčnosti, vinutie cievky má nulový odpor, nemá parazitnú kapacitu, je lineárna a nemá straty ani v jadre. V okolí budí magnetické pole v ktorom je akumulovaná energia: .

    Technická cievka má ohmický odpor, straty vo vinutí a v jadre (hysterézne a vírivými prúdmi), nie je dokonale lineárna a má kapacitu. Straty cievky sa vyjadrujú stratovým činiteľom alebo činiteľom kvality.

    Lineárna cievka je taká, ktorej indukčnosť je konštantná, nezávislá od veľkosti napätia alebo prúdu.

 

    Uvedené fyzikálne definície nie sú pre prax veľmi užitočné, pretože tok a jeho zmeny sa merajú ťažko. V praxi sú potrebné vzorce pre indukčnosť vyjadrené konštrukčnými parametrami (počet závitov, tvar, rozmery) a vlastnosťami jadra cievky. U cievok neexistuje univerzálne platný vzorec pre všetky druhy a ich presnosť je niekedy malá. Vo všeobecnosti však platí, že indukčnosť závisí od: štvorca (mocniny) počtu závitov a úmerne od permeability materiálu jadra µ.

    Konštrukcia cievky sa skladá z : vinutia – závitov izolovaného vodiča navinutých na kostričke, magnetického obvodu - deleného jadra z tenkých plechov z feromagnetického materiálu alebo feritu a ďalších pomocných konštrukčných dielov (kostry, držiaky, svorkovnice, izolačné materiály..). Existujú aj jednoduchšie konštrukcie (samonosné cievky), ale aj zložitejšie, najmä pre meracie účely – etalóny indukčnosti. Indukčnosť možno získať aj bez uvedenej konštrukcie, čisto elektronickým obvodom (tzv. syntetická indukčnosť).

    Cievky rozdeľujeme podľa rôznych hľadísk: tvaru, počtu závitov, konštrukcie a jadra.

Najzákladnejšie delenie je podľa jadra:

cievky bez jadra-vzduchové a cievky s magnetickým obvodom – jadrom.

Cievky s jadrom majú väčšiu indukčnosť ale aj nelinearitu. Cievka u ktorej sa využívajú silové účinky mg. poľa jadra sa nazýva elektromagnet.

 

Značky cievok:

---

 

5.2 Základné teoretické vzťahy pre obvody s cievkou

 

    V tomto odstavci sú vzťahy uvedené bez odvodzovania a zdôvodňovania. Niektoré zo vzťahov a záverov sú zdôvodnené v nasledujúcich kapitolách.

    Ideálna cievka má vinutie s nulovým ohmickým (jednosmerným) odporom, pre jednosmerný prúd I určený odporom ostatnej časti obvodu predstavuje skrat a teda na jej svorkách bude nulové napätie. Správanie cievky pri striedavom prúde je podstatne komplikovanejšie.

Pre striedavý prúd i(t) a striedavé napätie cievky u(t) platí vzájomný vzťah vyjadrený zákonom samoindukcie:    resp.   .

Ak sa jedná o periodické harmonické veličiny, vzťah sa výrazne zjednoduší do tvarov:

, resp. , 

Uvedené vzorce prestavujú obmeny Ohmovho zákona pre cievku v striedavom obvode.

Veličina    predstavuje zdanlivý odpor – reaktanciu (tiež induktanciu) cievky.

Že je to nejaký iný druh odporu ako odpor rezistora, sa matematicky vyjadruje imaginárnym číslom a graficky vektorom kolmým na vektor odporu rezistorov: 

 

Veľkosť vektora reaktancie je: , závisí teda priamo úmerne od frekvencie aj od veľkosti indukčnosti.

Poučka: cievka dobre prenáša nízke frekvencie (kladie im malý odpor) a zle prenáša vysoké frekvencie (kladie im veľký odpor).  , .

Lineárna cievka musí mať lineárnu(e) VACH(y).

Tvrdenie je dokumentované nasledovnými obrázkami:

 

 

 

 

 

 

Ďalšou vlastnosťou cievky pri harmonickom napájaní je, že spôsobuje medzi prúdom a napätím fázový posun .

Uvedenú skutočnosť možno graficky zobraziť pomocou časových priebehov alebo fázorov veličín Ua I.

 

 

 

 

 

 

Poučka:

napätie na cievke predbieha prúd o uhol , resp. prúd zaostáva za napätím o .

Ideálna cievka je bezstratový prvok, nie je spotrebičom činného (wattového) výkonu a teda sa nezohrieva, vo svojom okolí vytvára magnetické pole s určitou energiou, ktorú pri jednosmernom prúde vypočítame zo vzorca:. Táto energia sa akumuluje do mg. poľa jednorázovo a prechodom prúdu iba udržuje, jej veľkosť nezávisí od času. Preto sa cievka podobne ako kondenzátor nazýva prvok akumulačného typu (má schopnosť akumulovať v poli energiu).

 

    Reálna cievka má vinutie s konečným ohmickým odporom R (ktorého veľkosť sa zvyšuje s rastom frekvencie v dôsledku skinefektu) a nominálnu indukčnosť. Môžeme si ju predstaviť pomocou najjednoduchšieho náhradného sériového obvodu:     

 

    Zdanlivý odpor uvedeného obvodu už nebude čisto imaginárne ale komplexné číslo, resp. komplexná funkcia frekvencie: . Nazýva sa impedancia (presnejšie impedancia induktívneho charakteru). Môžeme ju zobraziť v rovine komplexných čísel (Gaussovej rovine).

 

Veľkosť impedancie je:

 

 

 

Uhol (fázu) impedancie určíme z goniometrickej funkcie uhla napr.:

Pri sériovom a paralelnom radení cievok platia rovnaké vzorce ako pri radení rezistorov.

 

 

 

 

 

---

 

5.3 Použitie cievok

 

    Oblasti používania cievok ako elektronických súčiastok sú rovnaké ako u kondenzátorov. Treba však zdôrazniť určité rozdiely medzi nimi. Na rozdiel od kondenzátorov a rezistorov, sa cievky nevyrábajú v radoch hodnôt pre nejaké všeobecné neurčité použitie a teda pre obchodné zásobovanie. Cievky sa vyrábajú pre konkrétny výrobok, napr. rozhlasový prijímač, oscilátor a pod. V prípade potreby použitia cievky v novom zariadení treba zistiť, či sa podobný typ už nevyrába a prejednať modifikáciu s výrobcom, alebo objednať vývoj a výrobu novej cievky u výrobcu, alebo pri kusovej výrobe zabezpečiť vlastný návrh a výrobu.

Preto učebnice elektroniky obsahujú aj state o výpočte (návrhu) indukčnosti cievok. V súčasnosti je cievka s veľkou indukčnosťou jedna z najdrahších, najväčších a najťažších súčiastok. Preto ak je to možné, sa jej použitie obmedzuje.

---

 

5.3.1 Oblasti použitia cievok:

-súčasť ladených (rezonančných a viazaných rezonančných) obvodov (vstupných a medzifrekvenčných) prijímačov

-súčasť LC kmitavých obvodov oscilátorov a generátorov

-súčasť LC oznamovacích filtrov, fázovacích, oneskorovacích a tvarovacích obvodov

-filtračný prvok sieťových napájacích zdrojov – tlmivka

-tlmivka ako väzobný prvok v zosilňovačoch – tlmivková väzba

-umelé tzv. pupinačné cievky nf vedení na zníženie útlmu vedení

 

Príklady zapojení s cievkami:

     LR DP filter        LC DP filter             PP filter                   sériový rezonančný obvod

 

 

Použitiu cievok vo filtroch a pojmom z oblasti filtrov je venovaný osobitný odstavec.

 

                 

 

 

 

  Viazaný rezonančný obvod; Tlmivka v zdroji; Tlmivková väzba

 

 

 

 

 

                                                           

 

                        pupinácia nf vedení

---

 

5.3.2. Reaktančné dvojpóly

 

     Reaktančný dvojpól: ľubovoľné zapojenie ideálnych cievok a kondenzátorov ukončené dvojicou svoriek. Je charakterizované reaktančnou funkciou, ktorej základné vlastnosti vyplývajú z tkzv. reaktančnej teorémy: imitačná (impedančná a admitančná) funkcia má jednoduché  vzájomne striedané nuly a póly na osi  v komplexne združených dvojiciach, pričom aj tkzv. externé frekvencie (=0,  --> ¥) sú nuly alebo póly. Funkcia je čisto imaginárna a s výnimkou pólov (bodov nespojitosti) rastúca. Počet prvkov realizácie je rovný súčtu interných núl a pólov zväčšenému o 1.

Pri návrhu dvojpólov sú dôležité hlavne zapojenia s najmenším počtom prvkov tzv. kanonické. Poznáme štyri tvary- formy kanonických zapojení: prvé dve formy vyplývajú z rozvoja impedančnej a admitančnej funkcie do súčtu čiastkových zlomkov (tiež sa tento postup nazýva odštepovanie pólov), ostatné formy využívajú rozvoj do tvaru reťazových zlomkov.

Existujú samozrejme aj realizácie zmiešané z rôznych tvarov. Rôzne formy realizácie dávajú rôzne hodnoty prvkov a rôznu citlivosť na zmeny (tolerancie) hodnôt LC prvkov.

 

I. forma:

 

 

 

 

II. forma:

 

 

 

 

 

III. forma:

 

 

 

 

IV. forma:

 

 

 

 

Reaktančné dvojpóly delíme podľa vlastností pri externých frekvenciách do štyroch typov:

            typ 1: pól v nule (=0), pól v nekonečne (--> ∞)

            typ 2: pól pri =0, nula pri  --> ∞

            typ 3: nula pri =0, pól pri  --> ∞

            typ 4: nula pri =0, nula pri  --> ∞

 

Jednotlivé typy v každej kanonickej forme dostaneme, ak zo všeobecnej elektrickej schémy vypustíme prečiarkované prvky.

Podrobnejšie poznatky, viď riešené príklady.

---

 

5.3.3 Reaktančné dvojbrány –filtre

 

    Oznamovací filter je frekvenčne závislá dvojbrána, ktorá v určitom frekvenčnom pásme – pásme prepúšťania prepúšťa napätie, prúd a výkon s malým tlmením, a v druhom – pásme tlmenia, ich čo najviac tlmí (neprepúšťa signál). Rozmedzie medzi pásmami udáva medzná frekvencia .

 

Podľa polohy a počtu pásiem delíme filtre na:

- dolnopriepustné (DP), prepúšťajúce v pásme  

- hornopriepustné (HP), prepúšťajúce pásmo  

- pásmové priepusty (PP), s pásmom prepúšťania  

- pásmové zádrže (PZ), s pásmom tlmenia  , pod a nad týmto pásmom sú pásma  prepúšťania

- mnohopásmové, s viacerými pásmami prepúšťania a tlmenia

- s viacerými vstupmi resp. výstupmi: zlučovače a frekvenčné výhybky

 

Prenosové funkcie ideálnych filtrov:  

 

 

 

 

 

V praxi sa častejšie vyjadrujú prenosové vlastnosti filtrov pomocou frekvenčnej charakteristiky prevádzkového útlmu b [dB]. Reálne filtre majú okrem strát aj prechod z pásma prepúšťania do pásma tlmenia (a naopak) pozvoľný (nie skokom). Nasledujúci obrázok znázorňuje charakteristiky reálnych DP filtrov v tzv. tolerančnej schéme.

                                                                                                         

PP.. pásmo prepúšťania

PT.. pásmo tlmenia

÷.. pásmo prechodu

 

 

 

Tlmenie bmaxp v pásme prepúšťania býva niekoľko desatín dB, tlmenie  bmint v pásme tlmenia desiatky dB. Veľkú strmosť prechodu a veľké tlmenie v pásme tlmenia možno dosiahnuť väčším počtom prvkov (R,L,C) a kvalitou použitých prvkov.

 

Členenie filtrov podľa štruktúry

Zložené z kaskády štandardizovaných polčlánkov a priečkové. Typy článkov (a filtrov): k, m, П, T, X (krížové – mostíkové).

 

Členenie filtrov podľa štruktúry

Reaktančné (LC), RC – pasívne, RC aktívne (s operačnými zosilňovačmi), filtre s piesoelektrickými jednotkami, mikrovlnné (vvf oblasť). Piesoelektrické a mikrovlnné umožňujú realizovať kvalitné úzkopásmové priepusty (PP) a zádrže (PZ). LC filtre sú kvalitnejšie ako RC, ale sú drahšie a objemnejšie.

 

Návrh – syntéza filtrov je zvláštna teoretická disciplína, využívajúca rôzne metódy, napr. metódu obrazovo prispôsobených článkov (k, m), alebo metódy na báze prevádzkových parametrov. V súčasnosti sa pri návrhu používajú katalógy a knižnice riešení alebo rôzne počítačové programy. S kvalitnými filtrami súvisia rôzne metódy aproximácie matematickej prenosovej funkcie. Väčšinou je prvý krok návrhu určenie hodnôt prvkov tzv. normovaného DP filtra. Hodnoty prvkov filtrov HP, PP, PZ sa určia z prvkov DP filtra pomocou frekvenčných transformácií. Okrem tlmení a šírky frekvenčných pásiem je u filtrov dôležitá otázka vstupnej a výstupnej impedancie, resp. otázka impedančného prispôsobenia filtra k zdroju signálu a záťaži.

    Nasledovná úvaha platí pre filtre zostavené z LC prvkov a rezonančných LC obvodov. Cievka (indukčnosť) v pozdĺžnej vetve dobre prepúšťa nízke frekvencie a tlmí vysoké. V priečnej vetve tlmí – skratováva nízke frekvencie. Správanie kondenzátora je vo filtroch opačné, napr. v priečnej vetve skratováva vysoké frekvencie. Sériový LC rezonančný obvod v pozdĺžnej vetve prepúšťa frekvenčné pásmo okolo rezonančnej frekvencie, pásmo pod a nad ňou neprepúšťa, v priečnej vetve v tomto pásme spôsobuje tlmenie.

Funkcia paralelného obvodu je opačná.

 

Príklady jednoduchých LC filtrov:

 

 

 1   – DP

 2   – DP, k polčlánok

 3   – DP, k

 4   – DP, dva polčlánky k

 5   – DP, m polčlánok 1. triedy

 6   – DP, m polčlánok 2. triedy

 7   – HP, k článok

 8   – PP

 9   – PZ

 10 – PZ, m polčlánok

 

 Ďalšie typy filtrov a ich použitie v praxi, viď príklady.

---

 

5.4 Charakteristické vlastnosti a parametre cievok

 

     Ideálna cievka je charakterizovaná predovšetkým veľkosťou svojej dominantnej vlastnosti – indukčnosti. Indukčnosť vyjadruje schopnosť vytvárať určitú veľkosť magnetického toku (resp. intenzity a indukcie), a ak je cievka budená striedavým prúdom, určuje na základe zákona samoindukcie veľkosť indukovaného napätia na vinutí cievky. Dôsledkom samoindukcie je existencia zdanlivého odporu – reaktancie cievky pri pretekaní striedavým prúdom a fázový posun medzi priebehom prúdu a napätia. Ďalšou vlastnosťou ideálnej cievky je linearita indukčnosti (cievky). Indukčnosť lineárnej cievky nezávisí od obvodových veličín - pracovného bodu cievky, jej veľkosť je konštantná v širokom rozsahu napätia a prúdu.

Technická cievka je charakterizovaná ďalšími vlastnosťami a parametrami ako sú: ohmický odpor vinutia, odpor vinutia vplyvom skinefektu, parazitná kapacita prípadne rezonančná frekvencia, straty vo vinutí a v jadre, nelinearita.

Stratové parametre sú spracované podrobne v kapitole 5.5 a nelinearita cievok v kapitole 5.8.

Pre praktické používanie cievok je potrebné poznať medzné parametre: dovolený prúd. dovolené (izolačné) napätie, prípadne výkon. Konštrukčné vlastnosti a parametre: počet závitov, prierez vodiča, prierez a druh jadra a kostričky, tieniaci kryt, atď.

---

 

5.5 Náhradné schémy, stratový uhol a stratový činiteľ, činiteľ kvality

 

      Ideálna cievka (indukčnosť) realizuje určitú, konštantnú hodnotu indukčnosti, nemá kapacitu a stratové prvky – odpory. Medzi prúdom a napätím vytvára fázový posuv . Reálna (technická) cievka má straty vo vinutí a v jadre, v dôsledku strát je fázový posuv  menší ako  o doplnkový uhol , ktorý sa nazýva stratový uhol. Pri vysokých frekvenciách sa začne v impedancii cievky uplatňovať parazitná kapacita a cievka (resp. obvod vytvorený prvkami R,L,C) sa správa ako rezonančný obvod, a pri ešte vyšších frekvenciách ako obvod s rozloženými parametrami. Komplikované správanie technickej cievky modelujeme náhradnými schémami. Najzložitejšie sú schémy cievky ako súčiastky s rozloženými parametrami, ktoré sa podobajú náhradnej schéme vedenia. Pri nižších frekvenciách a pre určité typy cievok sa môžu rozložené parametre sústrediť do troch náhradných prvkov RLC, vznikne tak tzv. kanonická náhradná schéma, popísaná u rezistorov v kapitole 3.8. Táto schéma a závery z nej plynúce sú univerzálne platné, líšia sa len proporciami hodnôt prvkov RLC. V nízkofrekvenčnej oblasti sa pre cievky najčastejšie používajú dvojprvkové RL náhradné schémy: sériová a paralelná.

 

Sériová RL náhradná schéma, fázorový diagram a stratové parametre

 

 

 

 

Pre stratový uhol v pravouhlom trojuholníku fázorového diagramu platí:

 

,   ...stratový uhol

Výraz  nazývame stratový činiteľ, číselne prevrátenú hodnotu: ,  nazývame činiteľ kvality (akosti, kvalita).

Paralelná náhradná schéma, fázorový diagram a stratové parametre

 

 

 

                          

 

Pre stratový uhol, stratový činiteľ a činiteľ kvality platí:

 ; 

Je evidentné, že kvalitná je taká cievka, ktorá má malý stratový uhol a malý stratový činiteľ, alebo veľkú hodnotu činiteľa akosti. Toto konštatovanie však nič nehovorí o dôvodoch prečo je to tak. Z fázorových diagramov, logickou úvahou alebo rozborom vzorcov možno prísť k záverom: činiteľ kvality závisí pri danej - požadovanej hodnote indukčnosti predovšetkým od hodnoty odporu stratového rezistora a závisí aj od frekvencie. Pre kvalitnú cievku platí, že hodnota odporu R_S musí byť čo najmenšia a hodnota odporu R_P čo najväčšia.

U kondenzátorov sa v katalógu uvádza väčšinou stratový činiteľ, u cievok sa častejšie udáva činiteľ kvality. Činiteľ kvality kondenzátorov býva 10³ / 10⁵ a je podstatne väčší ako reálne dosiahnuteľný činiteľ kvality cievok :10 ÷ 200.

Všetky stratové veličiny   , , Q závisia od frekvencie,  ich hodnoty udávané v katalógoch sú viazané (udávané) pre nejaké hodnoty frekvencie. Lepšiu – fyzikálne zrozumiteľnejšiu predstavu o stratách cievky, dáva sériový náhradný obvod. Činiteľ kvality cievky je definovaný: , teda kvalita cievky priamoúmerne závisí od veľkosti indukčnosti a frekvencie a nepriamo úmerne od odporu R_S. Odpor R_S reprezentuje rôzne zložky odporu: jednosmerného odporu vinutia R_js, zložku zvýšenia odporu pri striedavom vf prúde vplyvom skinefektu R_s, a odporu R_VH, reprezentujúceho straty v jadre vírivými prúdmi a hysteréziou. Čo sa týka závislosti činiteľa kvality od frekvencie treba poznamenať, že kvalita by mala teoreticky lineárne rásť so zvyšovaním frekvencie. V skutočnosti kvôli zvyšovaniu hodnoty odporu R_S s frekvenciou vplyvom skinefektu, od určitej hodnoty frekvencie kvalita cievky klesá.

 

 

 

 

 

 

 

Prepočet hodnôt prvkov náhradných schém

 

     Pri teoretických výpočtoch obvodov s reálnymi cievkami sa používajú obe dvojprvkové náhradné schémy. Hodnoty prvkov  R_S, L_S, R_P, L_P sa sa získavajú meraním meračmi LC prvkov, resp. meračmi kvality týchto prvkov. Niektoré meracie metódy dávajú výsledky zodpovedajúce sériovej, iné zodpovedajú paralelnej náhradnej schéme. Preto je aktuálna otázka vzájomného prepočítania hodnôt medzi týmito zapojeniami. Sú dva typy úloh:

známe sú hodnoty R_S, L_S a treba určiť hodnoty prvkov R_P, L_P, a úloha opačná. Uvedené dva náhradne obvody sa v teórii nazývajú duálne. Aby boli oba obvody vlastnosťami rovnocenné, vychádza sa z rovnosti ich impedancií alebo admitancií (vodivosti). Dôsledkom je aj rovnaká hodnota činiteľa akosti oboch obvodov.

 

Pre impedanciu sériového obvodu platí:

Pre impedanciu paralelného obvodu platí:

, po úpravách:

Porovnaním veľkosti reálnych a imaginárnych zložiek  ,  dostaneme vzorce: ; 

 

Pozn.: všimnúť si, že vo vzorcoch pre hodnoty R_S a L_S vystupuje frekvencia. Tento fakt možno komentovať tak, že prepočet konkrétnych hodnôt prvkov R_P na R_S a L_P na L_S, platí pre jednu konkrétnu frekvenciu (závisí od frekvencie). Uvedená podoba vzorcov je vhodná pre prepočet na hodnoty prvkov sériového zapojenia. Vzorce pre opačný prepočet možno získať porovnaním výrazov pre vodivosti zapojení, alebo zavedením výrazu činiteľa kvality v uvedených tvaroch vzorcov a zo získaných tvarov vyjadriť hodnoty R_P, L_P.

Činiteľ kvality pre paralelný obvod je: 

Vzorec  vydelíme členom  a upravíme:

Podobne upravíme výraz pre L_S, vydelením členom :

Pre kvalitné cievky keď Q > 10, platia zjednodušené, v praxi uvádzané vzorce:

, 

Výsledok hovorí, že u kvalitných cievok sú hodnoty oboch indukčností skoro rovnaké

a hodnoty odporov výrazne rôzne, keď R_{P­­­­­­­}>>R­_S.

Možnosť vzájomnej náhrady názorne ukazuje obrázok fázorových charakteristík oboch obvodov nakreslený bez matematického rozboru funkcií impedancií obvodov.

Predpoklad: R_{P­­­­­­­}>R­_S

_­­­­          

 

 

 

Na záver uvedieme prevodové vzťahy v prehľadnej tabuľke:

 

Prevod :	Ak Q >> 1
Prevod :	Ak Q >> 1

 

 

 

 

---

 

5.6 Rozdelenie cievok podľa rôznych hľadísk, konštrukcie cievok

    

V úvode kapitoly zopakujeme hrubé rozdelenie cievok podľa rôznych hľadísk.

 

Cievky bez jadra – vzduchové                    Lineárne                Podľa tvaru jadra:

Cievky s jadrom (mg. obvodom)                 Nelineárne             C, EI, toroidné, hrnčekové...

 

S konštantnou hodnotou indukčnosti                                Nízkofrekvenčné - tlmivky

S premenlivou – laditeľnou indukčnosťou                       Vysokofrekvenčné, mikrovlnné

 

S kostričkou                          Jednovrstvové                       nf - jadrové

Bez kostričky                        Viacvrstvové                         nf - plášťové

 

Základom klasickej konštrukcie cievky je vinutie z izolovaného medeného vodiča alebo vf lanka. Vinutie je navinuté na zhotovenej alebo lisovanej kostre z nevodivého materiálu. Cievky s jadrom obsahujú magnetický obvod z feromagnetického materiálu vo forme tenkých izolovaných plechov alebo pásikov, pre vf aplikácie sa používajú feritové výlisky. Konštrukcia masívnejších cievok ďalej obsahuje: držiaky a spojovacie prvky (závitové tyče, matice, podložky, svorkovnicu). Niektoré cievky sú vložené do uzemneného hliníkového tieniaceho krytu. Kryt potláča vnikanie magnetického poľa z iných cievok a aj šírenie poľa vlastnej cievky do okolia. V závere kapitoly budú spomenuté netradičné spôsoby realizácie indukčnosti.

Cievky bez jadra (vzduchové), nf a vf

Majú hodnoty indukčnosti rádovo , výnimočne x mH. Podľa veľkosti indukčnosti môžu byť jedno alebo viac vrstvové. Používajú sa v nf a vf obvodoch až do frekvencie stoviek kHz, vyžaduje sa u nich dobrá linearita. Pre potlačenie kapacity sa niekedy používa krížové vinutie a na potlačenie strát vplyvom skinefektu sa používa tenké izolované lanko. Pre malé hodnoty indukčnosti (x µH) a vysokú kvalitu sa používa konštrukcia niekoľkých závitov hrubého medeného drôtu - samonosná cievka, alebo sa používa ako vodič medená fólia plošného spoja odleptaná do tvaru meandra.

 

Vysokofrekvenčné cievky s jadrom

Pre cievky s väčšou indukčnosťou sa používajú rôzne typy feritových jadier prerušených z dôvodu linearizácie úzkou vzduchovou medzerou. Kvôli dobrému tieneniu sa najčastejšie používajú hrnčekové feritové jadrá s normalizovanými rozmermi. Jadro sa skladá z dvoch kruhových častí uložených na sebe. Stredný stĺpik na ktorý sa uloží cievka na kostričke, je prerušený úzkou vzduchovou medzerou. Do otvoru stĺpika sa zasúva skrutkovacie jadro, na jemné doladenie indukčnosti cievky.

 

Pre cievky s nastaviteľnou malou hodnotou indukčnosti sa používajú tyčky (trubičky), do ich dutiny sa zasúva skrutkovacie feritové alebo kovové jadierko. Skoková zmena indukčnosti je možná vyhotovením cievky s odbočkami so súčinnosťou prepínača.

 

 

Nízkofrekvenčné cievky – tlmivky

Tlmivky sú cievky s jadrom a veľkou hodnotou indukčnosti, v rozsahu desiatok mH až desiatok H, čomu potom zodpovedá počet závitov a rozmery cievky. Jadro býva z plechov alebo ortopermových pásikov. Tvary jadra: C, EI, toroid - pre cievky určené na laboratórne pokusy. U C jadra sú možné dve konštrukčné prevedenia: jadrové a plášťové.

Tlmivkou väčšinou prechádza usmernený prúd so striedavou nevyfiltrovanou zložkou.

Tlmivka musí byť navrhnutá a prevádzkovaná tak, aby sa pracovný bod v magnetizačnej charakteristike jadra pohyboval iba v kvázilineárnej časti a neposúval sa do oblasti nasýtenia, vtedy totiž výrazne klesá indukčnosť tlmivky. Linearita tlmiviek nie je dôležitá.

 

Zvláštne – mikrovlnné konštrukcie cievok

Vo vf - mikrovlnných aplikáciách sa cievka väčšinou používa v súčinnosti s kondenzátorom, s ktorým vytvára rezonančnú sústavu. V mikrovlnnej oblasti sa cievky a kondenzátory vytvárajú tvarmi tyčí, platní, otvorov a štrbín v mechanických konštrukciách. Podrobne je formou úlohy 5.10.24 popísaná a vysvetlená realizácia cievok a rezonančných obvodov pomocou bezstratových vedení.

---

 

5.7 Výpočet indukčnosti cievok a návrh cievok

 

      Ako už bolo povedané a na tomto mieste to opakujeme, že cievky sa nevyrábajú v normalizovaných radoch hodnôt, ale pre nejaké konkrétne elektronické zariadenie. Preto je v praxi častá úloha návrh cievky vrátane hodnoty indukčnosti. Je to úloha konštrukčného typu, ktorá je podstatne zložitejšia ako "školská" úloha určenia indukčnosti cievky s určitou známou konštrukciou. V učebniciach sa konštrukčný návrh predkladá väčšinou ako úloha určenia vzorca pre indukčnosť. Presný výpočet (presný vzorec) je možný iba pre určité jednoduché konštrukcie, napr. s uzavretým magnetickým obvodom, a to iba v oblasti nízkych a stredných frekvencií. Napr. je známy vzorec pre indukčnosť cievky s toroidným jadrom, ktorý sa dá odvodiť zo základných zákonov magnetického poľa:

          

 

Tento ako aj ďalšie vzorce vyjadrujú skutočnosť, že indukčnosť cievky závisí od mocniny počtu závitov, vlastností jadra (µ), rozmerov a geometrického tvaru cievky. Pre iné konštrukcie sa používajú vzorce empirické, odvodené na základe praktických skúseností. Ich presnosť je malá a je viazaná na určité predpoklady. Charakteristickým znakom týchto vzorcov   sú rôzne konštrukčné konštanty a použitie menších jednotiek ako sú základné jednotky, napr. mH, cm, mm, atď.. Nepríjemnou vlastnosťou týchto vzorcov je skutočnosť, že v sebe obsahujú rozmerové veličiny, ktoré vlastne treba určiť, čiže je to "rovnica o viacerých neznámych", riešiteľná len voľbou – tipovaním týchto veličín. Ak je predpoklad nekvalifikovaný, vedie to k viacnásobnému opakovaniu návrhu s postupným zlepšovaním (zreálňovaním) výsledku. Najčastejší nepríjemný výsledok návrhu je, že vypočítaný počet závitov nevojde na kostričku, ktorej rozmery sa odhadli. Súčasťou návrhu cievky je aj dimenzovanie priemeru vodiča a určenie teploty vinutia cievky.

V ďalšej časti uvedieme vzorce pre klasické typy cievok a stručný postup "amatérskeho" návrhu. Na profesionálny návrh sa v súčasnosti používajú interaktívne počítačové programy, riešiace návrh do konštrukčných podrobností a s vyhotovením dokumentácie.

 

Jednovrstvová valcová vzduchová cievka

Na výpočet indukčnosti sa používa upravený Nagaokov vzťah:

        

 

 

Veľkosť konštanty k závisí od pomeru D/b a je spracovaná tabuľkovo. Veličiny D, b treba odhadnúť. Zo vzorca sa väčšinou určuje počet závitov.Konkrétny výpočet tejto konštrukcie cievky, viď úloha 5.10.2.

Viacvrstvová valcová vzduchová cievka

 

                 

 

Vzorec je relatívne presný keď sú závity navinuté tesne (strojovo) vedľa seba a keď činiteľ plnenia vinutia k_v = 0,6. Činiteľ k_V vyjadruje pomer plochy medi vinutia k celkovému prierezu vinutia: b.c.

 

Vf cievka s jadrom a skrutkovacím jadrom

Indukčnosť cievok s uzavretými normalizovanými feritovými jadrami sa určuje na základe činiteľa indukčnosti jadra A_L, ktorý vyjadruje indukčnosť cievky s jedným závitom daného typu jadra. Indukčnosť cievky s n závitmi určíme zo vzťahu :

 

Hodnoty činiteľa A_L udávajú výrobcovia jadier v katalógoch, hodnotu určujú rozmery jadra ale predovšetkým veľkosť vzduchovej linearizačnej medzery jadra.

Pre skrutkovacie jadrá platí vzťah: , kde L_O je indukčnosť rozmerovo rovnakej cievky bez jadra, µ_C je tzv. cievková permeabilita udávaná výrobcom pre každý typ jadra. .

 

Netypické – mikrovlnné konštrukcie cievok

Cievky sa v obvodoch s veľmi vysokými frekvenciami (mikrovlnných) používajú väčšinou v súčinnosti s kondenzátormi, s ktorými tvoria rezonančné sústavy. Vlastnosti cievok a kondenzátorov sa realizujú v oblasti mikrovĺn rôznymi mechanickými konštrukciami obsahujúcimi: kovové platne, tyče, hrebene,  otvory a štrbiny v mechanických dieloch. Rozbor a príklad takýchto konštrukcií je nad rámec tohto učebného textu. Pre realizáciu cievok a kondenzátorov resp. rezonančných obvodov, sa v oblasti dm a cm vĺn používajú homogénne bezstratové vedenia, napr. koaxiálne alebo vlnovody. Pomerne podrobný výklad tejto problematiky obsahuje úloha 5.10.24.

 

Indukčnosť vedení

Indukčnosť nemajú len účelovo konštruované súčiastky – cievky. Akákoľvek vodivá sústava, napr. aj rovný vodič alebo vedenie majú indukčnosť, ktorá je v týchto prípadoch nežiaduca – parazitná. U vedení sa indukčnosť negatívne prejavuje tak, že utlmuje signál, zmenšuje rýchlosť šírenia vlny a obmedzuje veľkosť frekvenčného pásma prenosu. U vedení sa indukčnosť vyjadruje vztiahnutá na jednotku dĺžky vedenia (mH/km) a spolu pre oba vodiče vedenia. Indukčnosť je jedným zo štyroch tzv. primárnych parametrov vedenia. Jej veľkosť závisí od typu vedenia a aj frekvencie .

Nadzemné vedenie – pár

  , kde d je priemer vodiča, a vzdialenosť vodičov.

Pri vf možno člen 0,25 zanedbať.

Káblové  vedenie – pár

 

Pretože vodiče káblov sú tesne vedľa seba, je ich indukčnosť menšia ako u vzdušných vedení. Aby sa kompenzoval škodlivý vplyv veľkej kapacity nf káblov, zvyšuje sa ich indukčnosť umele pupinačnými cievkami, radenými v určitých vzdialenostiach - pupinačných úsekoch. Priaznivý vplyv zníženia útlmu pupinovaných káblov je "zaplatený" výrazným znížením šírky frekvenčného pásma kábla, pretože cievky s kapacitou kábla tvoria dolnopriepustný filter.

 

Koaxiálny kábel

             

Pre kábel 9,4/2,52 mm a frekvenciu  je 

Indukčnosť a kapacita bezstratových vedení sa však môže užitočne využiť, ako sme už viac krát konštatovali, na vytvorenie veľmi kvalitných prvkov LC a rezonančných obvodov, alebo na vytvorenie bezstratových oneskorovacích obvodov.

---

 

5.8 Nelineárna cievka (indukčnosť)

 

     Dôležitou vlastnosťou cievok v elektronike je ich linearita.

Cievky bez jadra - vzduchové sú takmer lineárne prvky, v širokom rozsahu prúdov je ich indukčnosť L konštantná, pretože vzduch (vákuum) má lineárnu magnetizačnú charakteristiku s permitivitou . Cievky s uzatvoreným magnetickým obvodom (jadrom) sú nelineárne, príčinou je nelineárna magnetizačná charakteristika používaných feromagnetických látok B = f(H) a ich prípadná hysterézia.

B_S ...indukcia nasýtenia

H_C ...koercitívna sila (intenzita)

 ...permitivita látky (jadra)

 

 

Podobne ako u nelineárnych rezistorov  platí, že odpor nie je konštantný ale závisí od obvodových veličín (pracovného bodu), aj permitivita (predstavujúca vlastne magnetickú vodivosť látky) a tým aj indukčnosť cievky nie je konštantná, ale závisí od pracovného bodu, teda od prevádzkového napätia a prúdu. Aj u indukčnosti možno pri výpočte zaviesť pojem statickej a dynamickej permitivity a indukčnosti: ; . Miera nelinearity závisí od veľkosti obvodových veličín a spôsobu prevádzkovania cievky, viď nasledovné obrázky:

 

A: pri prevádzkovaní malým prúdom je permeabilita malá a cievka nelineárna.

B: vhodný spôsob prevádzky, pracovný bod sa pohybuje v kvázilineárnej časti

    charakteristiky, permeabilita a indukčnosť je veľká, nelinearita malá.

C: prevádzkovanie príliš veľkým prúdom až do oblasti nasýtenia, veľmi klesá µ a L, priebeh

    napätia je zdeformovaný, cievka sa prehrieva. 

D: potlačenie nelinearity predmagnetizáciou jednosmerným prúdom – v takom režime má

    pracovať tlmivka na filtrovanie usmerneného napätia.

E: potlačenie nelinearity moduláciou nízkofrekvenčného signálu nosným –

    vysokofrekvenčným, tento princíp sa používa na záznam zvuku v magnetofónoch.

F: najčastejší spôsob linearizácie charakteristiky: prerušením obvodu malou (<1mm)

    vzduchovou medzerou. Pozn.: samozrejme, že týmto spôsobom sa zníži µ aj L.

 

    Obvody s nelineárnou indukčnosťou sa riešia väčšinou grafickými metódami. Sú dve základné úlohy:

-          cievka je budená z tvrdého napäťového zdroja väčšinou harmonického napätia, zisťuje sa priebeh zdeformovaného prúdu

-          cievka je budená harmonickým prúdom a určuje sa tvar napätia

Pri grafickom riešení sa vychádza z experimentálne zistenej – nameranej charakteristiky . Príklad priebehu VACH nelineárnej cievky a jej impedancie  pri určitej frekvencii:

        

 

 I_ef  je efektívna hodnota zdeformovaného – neharmonického prúdu i(t)

 

 

 

 

---

 

5.9 Vzájomná indukčnosť

 

     Úmernosť medzi veľkosťou indukovaného napätia a zmenou magnetického toku resp. budiaceho prúdu platí nielen pre jednu – vlastnú cievku (vlastnosť sa volá vlastná indukčnosť), ale aj pre dve (resp. viaceré) cievky spriahnuté spoločným magnetickým tokom.

 n₁, L₁  ...počet závitov a indukčnosť primárnej –

               budiacej cievky

n₂, L₂  ...sekundárna cievka

 

Primárna cievka L₁ pri napájaní premenlivým prúdom I₁ vytvára premenlivý tok , ktorý celý alebo jeho časť , viaže sekundárna cievka L₂. Premenlivý magnetický tok podľa indukčného zákona indukuje na svorkách sekundárnej cievky premenlivé napätie .

  

Pre harmonické napätie U₁ a harmonický prúd I₁, sa všeobecný tvar vzorca pre indukované napätie zjednoduší na tvar: .

Vo vzorcoch vidieť, že veľkosť indukovaného napätia úmerne závisí od veličiny M, ktorú nazývame vzájomná indukčnosť cievok. Jednotkou vzájomnej indukčnosti ako aj vlastnej indukčnosti je henry [Ωs]. Indukčnosť sa dá určiť z obvodových veličín z uvedených vzťahov, alebo z definičného vzorca pomocou veličín magnetického poľa.

  ...definič. vzťah pre vlastnú indukčnosť cievky

 -->   

  ...celkový mg. tok vytvorený prúdom I₁ cievky L₁

 ...časť toku vytvoreného cievkou L₁ a viazaná cievkou L₂

  ...rozptylový magnetický tok

k     ...činiteľ väzby, udáva akú pomernú časť vytvoreného toku viaže cievka L₂

Pre silnú (tesnú) väzbu platí k-->1, pre žiadnu  k=0.

Definičný vzťah pre M:

Dá sa odvodiť súvis medzi pomerom indukčnosti cievok a počtom ich závitov:

  resp. 

Potom platí:    ,  

    Veľkosti veličín M resp. k, závisia podobne ako veľkosť vlastnej indukčnosti od:

počtu závitov cievok, magnetického prostredia (mg. toku), rozmerov a polohy cievok.

Napr. pre vzájomnú indukčnosť cievok na uzatvorenom toroidnom obvode platí vzorec:

 .      

 

    Masívna konštrukcia (súčiastka) dvoch resp. viacerých cievok na uzavretom magnetickom jadre, využívajúca vzájomnú indukčnosť sa nazýva transformátor. Transformátory slúžia na prenos (so sprievodnou zmenou napätia a prúdu) energie alebo signálu medzi dvoma sústavami bez galvanickej väzby. Prenos medzi sústavami (cievkami transformátora) sprostredkováva magnetické pole. Ak cievky nemajú feromagnetické jadro alebo je otvorené, hovoríme o magneticky viazaných cievkach (obvodoch). V elektronike sa väčšinou magnetická väzba ešte doplní o kondenzátory a hovoríme potom o magneticky viazaných rezonančných obvodoch. Tieto slúžia ako väzbové - ladené obvody medzi stupňami zosilňovača. Voľbou činiteľa väzby (napr. zasúvaním feritového jadra do dutiny cievok), možno dosiahnuť prenosové frekvenčné charakteristiky rôzneho tvaru.

 

 

 

 

  

 

 Niekedy sa magneticky viazané cievky používajú v elektronických obvodoch bez funkcie galvanického oddelenia a komplikujú zostavenie rovníc pre riešenie obvodov. Príklady zostavenia rovníc alebo impedančnej matice obvodu sú v časti 5.10, príklady 5.10.27; 5.10.28.

    Ak sú magneticky viazané cievky radené do série alebo paralelne, možno ich nahradiť jednou náhradnou cievkou L_N.

 

           

 (súhlasná orientácia vinutí)

 

  (nesúhlasná orientácia vinutí)

 

 

 

 

    (súhlasná orientácia vinutí)

 

 

 

 

 

Dôkaz uvedených vzorcov je predmetom úloh 5.10.25; 5.10.26.

 

Bodky znamenajú začiatky vinutia resp. smer vinutia cievok. Smer (polarita) indukovaných napätí závisí od smeru vinutí cievok, pri ich určovaní sa postupuje podľa nasledovnej konvencie:

---

 

5.10 Riešené úlohy a príklady

 

Najskôr sú riešené príklady na samotnú cievku a fyzikálnej povahy, potom príklady na súčinnosť s kondenzátorom (rezonančné obvody a filtre), napokon úlohy z praktických aplikácií a z obvodov so vzájomnou indukčnosťou.

---

 

5.10.1 Toroidná cievka s jadrom určitých rozmerov má indukčnosť L = 1 H. Ako sa zmení indukčnosť, ak zvýšime dvojnásobne počet závitov n a zároveň dvojnásobne zväčšíme polomer prstenca R aj polomer rezu jadra r ?

 

Pre toroidnú cievku platí vzorec: 

 

Pre druhú cievku platí: 

                                    

L` = 8 H, indukčnosť sa zvýši 8 krát.

---

 

5.10.2 Valcová jednovrstvová cievka bez jadra, má priemer kostričky D` = 10 mm a 100 závitov drôtu s priemerom d = 0,25 mm (vrátane izolácie). Akú má indukčnosť?

Do vzorcov pre indukčnosť sú potrebné parametre D, b – viď obrázok.

 

D = D` + d = 10 + 0,25 = 10,25 mm

 

Pri tesnom vinutí závitov platí : b = n . d  = 100 . 0,25 = 25 mm

 

Pre indukčnosť valcovej cievky sa niekedy používa vzorec ako pre toroidnú cievku  s tým, že namiesto dĺžky siločiary l_s sa dosadzuje dĺžka cievky b. Primeranú presnosť dáva vzorec len vtedy ak je pomer D/b malý (napr. < 0,2).

Preto sa pre presnejší výpočet vzduchových vrstvových cievok používa Nagaokov vzorec :  kde konštanta k závisí od pomeru D/b a býva spracovaná tabuľkovo.

Pozn.: v prvom vzorci sa operuje so základnými jednotkami (rozmery v [m], indukčnosť v [H]), v druhom sú rozmery v [cm] a L v [μH].

Výpočet podľa fyzikálneho vzťahu:

Výpočet L podľa Nagaokovho vzťahu:

;  z tabuľky pre  odčítame  k = 8,25

Táto hodnota indukčnosti je vierohodnejšia, hodnoty sa líšia približne o 20%.

---

 

5.10.3 Technická cievka s indukčnosťou L = 1 H má pri frekvencii  f = 50 Hz účinník 0,8. Aký činný odpor má jej vinutie?

 

Sériová náhradná schéma technickej cievky, fázorový diagram veličín a impedančný diagram:

Účinník je definovaný ako cosφ , kde φ je fázový posun medzi prúdom a napätím, resp. fáza výslednej impedancie obvodu : Z = R + jωL = |Z| ∟φ

. Pre impedančný diagram platí:

 ,   R = 419  

---

 

5.10.4 Po pripojení technickej cievky na jednosmerný zdroj s napätím 250V tečie cievkou prúd 0,5 A. Pri pripojení na striedavú sieť 230V/50 Hz tečie cievkou prúd 0,1 A. Určiť hodnoty prvkov sériovej a paralelnej náhradnej schémy a kvalitu cievky pri f = 50 Hz!

 

Hodnoty prvkov zo sériovej náhradnej schémy určíme z výsledkov merania prúdov.

Pre impedanciu sériového zapojenia R_s, L_s platí:

 a zároveň platí: 

Činiteľ kvality vyjadrený hodnotami prvkov R_s, L_s je:

Q = ωL_s/R_s = 4,49

Pri takejto pomerne nízkej hodnote činiteľa kvality použijeme pre výpočet hodnôt prvkov paralelnej náhradnej schémy presné (nezjednodušené) prevodové vzorce:

Správnosť výpočtu R_p, L_p možno skontrolovať napr. určením kvality paralelnej schémy:

(Obvody sú ekvivalentné ak majú rovnakú nielen impedanciu, ale aj kvalitu pri rovnakej frekvencii).

---

 

5.10.5 Na obrázku sú VACHy troch ideálnych cievok:

L₁ = 10 μH pri frekvencii f = f₁, L₂ pri frekvencii f₂ = 10 kHz a L₃ , ktorá vznikne pri sériovom alebo paralelnom riadení L₁ a L₂ a frekvencii f₃. Treba určiť f_{1 ,}L_{2 ,}L₃ a f₃ !

 

       

 

 

Úloha určenia L₃ a f₃ nie je jednoznačná. Môžu byť dve riešenia.

Ak sú cievky L₁ a L₂ radené do série,tak 

Graf L₃ je vtedy platný pre frekvenciu f₃, ktorú určíme zo vzťahu

;   

Ak sú cievky radené paralelne , tak  a 

---

 

5.10.6 Dobrou a názornou pomôckou pri riešení striedavých obvodov je impedančný a fázorový diagram veličín obvodu, nedáva konkrétny číselný výsledok ale dáva názornú predstavu o veličinách, umožňuje riešenie jednoduchších obvodov použitím vzorcov pre trojuholník (Pytagorova alebo kosínusová veta), bez znalosti komplexného počtu.

Úloha: nakresliť fázorové diagramy k nasledujúcim obvodom, pozostávajúcim z troch prvkov typu RL!

             

 

Fázorový diagram je najvýhodnejšie začať od “najviac spoločnej veličiny“ v obvode, napr. v obvode A od U₂, v obvode B od U₂, v obvode C od I₁. Ďalší postup je vyjadrený symbolickým zápisom.

A:   

B:   

C:    

 

Pozn.: Všetky zapojenia (radenia) prvkov R,L majú induktívny charakter, fázový posuv medzi výsledným prúdom a napätím je: .

---

 

5.10.7 Nakresliť fázorový diagram nasledovného obvodu, ktorý môže reprezentovať paralelné radenie dvoch technických cievok!

        

 

Ak má diagram vyjadrovať reálnu situáciu obvodu, je vhodné určité veličiny určiť pomocným výpočtom. Diagram možno začať kresliť od napätia U. Ďalší postup môže byť taký, že sa určia fázové posuvy prúdov I₁ a I₂voči U . U indukčných záťaží prúdy zaostávajú za napätím. Ktorý z uhlov  a  je väčší, závisí od konkrétnych hodnôt prvkov R₁, R₂, L₁ ,L₂ a treba to zistiť výpočtom. Nech v našom prípade platí: . Ďalší postup je už jednoznačný.

 

Postup: , 

Pri konštrukcii napätí treba postupovať tak aby boli splnené rovnice:

, pričom  , pričom .

Pre výsledný prúd I platí : .

 

Pozn.: Už tento pomerne jednoduchý  príklad (obvod) naznačuje medze efektívnosti a vôbec možnosti riešenia obvodov na báze vektorových – fázorových diagramov. V obvodoch s oboma reaktančnými prvkami a viacerými prvkami, nie je možné verne zobraziť obvodové pomery, obrázok namiesto trojuholníkov obsahuje viacuholníky alebo križovanie vektorov vo vektorovom súčte.

---

 

5.10.8 Štítok el. zariadenia induktívneho charakteru obsahuje nasledovné el. údaje:

220 V/50 Hz; 2,2 kVA; cos φ = 0,8. Treba určiť parametre sériovej náhradnej schémy, prúd a všetky druhy výkonov spotrebiča!

 

Údaj 220 V je efektívna hodnota, údaj 2,2 kVA je hodnota zdanlivého výkonu. Pre výkony platia nasledovné vzorce a diagram:

 ,  ,                                      

Zo vzorca pre P_Z určíme prúd.

Pre sériový náhradný obvod RL platí nasledovný impedančný diagram:

Zároveň z Ohmovho zákona vyplýva:

Pre pravouhlý trojuholník platia trigonometrické vzťahy:

   ^a  

                                        

Odporová zložka impedancie je spotrebičom činného výkonu, reaktančná jalového výkonu.

---

 

5.10.9 V paralelnom RL obvode určiť všetky obvodové veličiny!

U_ef = 24 V; R = 8 kΩ;  L = 0,1 H; 

  Fázorový diagram:     .

 

Impedančný diagram sa u paralelného obvodu jednoduchým spôsobom nakresliť nedá. Bez komplexného počtu sa priamo nedá určiť ani výsledná impedancia obvodu.

Postup výpočtu:

  , 

Fázový posun medzi prúdom a napätím:

,  fáza impedancie je 

Príklad možno riešiť aj iným spôsobom, na báze vodivostí.

Pre vodivosti platia vzťahy:

;   

Prúdy I_R, I_L možno vypočítať ako v predchádzajúcom odstavci.

---

 

*5.10.10 Odvodiť a graficky znázorniť impedančné frekvenčné charakteristiky paralelného RL obvodu: , Re , Im  , 
 

normovanú char.: , fázorovú (komplexnú), logaritmickú :   !

Výsledný zložkový tvar vlastne predstavuje prevodový vzťah medzi hodnotami prvkov paralelného a ekvivalentného sériového RL obvodu.

Dá sa matematicky dokázať, že tvar funkcie  v rovine komplex. čísel predstavuje pre  polkružnicu.

Do ďalšieho postupu odvodzovania je vhodné zaviesť pojem časovej konštanty obvodu  a medznej kruhovej frekvencie .

Grafy doteraz odvodených charakteristík:

Pomerná impedančná charakteristika je vztiahnutá (normovaná) k hodnote R:

   --->  

 

Odvodenie logaritmickej charakteristiky:

- pre , uvedená rovnica predstavuje pri logaritmickej dekádovej stupnici rovnicu priamky so sklonom +20 dB/dek s tým, že pre  je 

- pre 

- pre  

Graf: 

 Funkcia  resp.  má nulu pri nulovej frekvencii a konečnú hodnotu R (resp. 1) v nekonečne .

---

 

5.10.11 Logickou úvahou určiť a graficky zobraziť priebeh impedančných charakteristík  uvedených dvojpólov!

 

Pretože sa nejedná o rezonančné obvody, budú priebehy impedancií monotónne funkcie bez lokálnych extrémov, stačí vyšetriť hodnotu impedancií pri hraničných frekvenciách  a .

 

 

 

 

 

A: funkcia má v nule  konečnú hodnotu (minimum) a pri  pól .

B: funkcia je rastúca, v nule a nekonečne má konečné hodnoty impedancie.

C: funkcia má v nule pól  a v nekonečne konečnú hodnotu R

D: funkcia je klesajúca, v nule má konečnú hodnotu a v nekonečne nulu .

(pre nízke frekvencie a js. prúd je impedancia kondenzátora nekonečná a celkovú impedanciu určuje rezistor, pre  je kondenzátor skrat )

 

 

Ďalšie príklady a úlohy sú venované rezonančným obvodom (RO) a ich aplikáciám. Pre ich riešenie je potrebné poznať teoretické rozbory rezonančných obvodov, ich charakteristiky

 a definíciu činiteľa kvality RO.

---

 

5.10.12 Určiť obvodové veličiny v sériovom rezonančnom obvode (SRO) s technickou cievkou a kondenzátorom! .

Obvod je napájaný napätím 220 V/50 Hz. Potom treba určiť všetky obvodové veličiny pri tom istom napätí ale pri rezonančnej frekvencii.

 

 

Nech 

 

 

 

Pretože f (50 Hz) < f, má impedancia kapacitný charakter.

Nech f = f_r = 100,6 Hz, rovnakým postupom výpočtu teraz dostaneme:

I=22 A, U_R=220 V, U_RL=3488 V,  U_C=3476 V.

Výpočet potvrdil známy fakt, že v SRO je na reaktančných prvkoch pri vysokej kvalite Q podstatne väčšie napätie ako je napájacie.

Platí: U_c = Q.U a U_L = Q.U

Na takéto napätia musia byť dimenzované prvky L a C, napr. v našom príklade musí mať kondenzátor menovité napätie aspoň .

---

 

5.10.13 Určiť obvodové veličiny v paralelnom rezonančnom obvode (PRO) s hodnotami prvkov z predchádzajúceho príkladu, najskôr pri napätí 220 V/50Hz a potom pri rezonančnej frekvencii! Pri riešení použiť komplexný počet!

 

,   (efekt. hodnota)

 a pretože fázor prúdu voči napätiu zaostáva, má obvod induktívny charakter (čo je v súlade s teóriou PRO).

V stave rezonancie: 

, 

, 

Pozn.1: U tohto PRO  nie je prúd v rezonancii minimálny, minimum dosiahne pri frekvencii , pri vysokej kvalite PRO však platí: .

 

U PRO je známy paradoxný výsledok, že v rezonancii výsledný prúd tečúci do dvoch paralelných vetiev, je menší ako čiastkové vetvové prúdy. Pre vetvové prúdy v rezonancii platí :  . Dá sa to vysvetliť pomocou fázového diagramu alebo skutočnosťou, že cievka a kondenzátor si vo vnútornej slučke vzájomne medzi sebou vymieňajú energiu pri pomerne veľkom prúde.

Pozn.2: Ideálny PRO s R = 0, má v rezonancii nekonečnú impedanciu a teda zo zdroja neodoberá prúd, vo vnútornej slučke však tečie teoreticky neobmedzený prúd.

Pozn.3: Vyšetrovaný PRO  nemusí vôbec vykazovať rezonanciu (nemá rezonančnú frekvenciu), ak platí: .

---

 

*5.10.14  Vyšetriť vlastnosti uvedeného paralelného rezonančného obvodu.

a.) Určiť rezonančnú frekvenciu a impedanciu v rezonancii!

b.) Analyzovať funkciu obvodu ak platí podmienka !

 

          

        

 

Po zdĺhavých a nudných úpravách možno dostať tvar:

Stav rezonancie nastane keď  I_m(Z) = 0

Jeden koreň rovnice je samozrejmý, keď .

, po úpravách výrazu platí:

V rezonancii bude mať impedancia iba reálnu zložku a po dosadení za  

dostaneme:    

 

                     ,  

b.) Nech

Impedancia obvodu za uvedeného predpokladu vôbec nezávisí od frekvencie. Hoci je to formálne rezonančný obvod (s reaktančnými prvkami), správa sa ako čisto odporový obvod!

 

---

 

5.10.15 V elektronike sa používajú aj zložitejšie rezonančné obvody – s viacerými LC prvkami a viacerými rezonanciami.

Úloha: vyšetriť priebeh impedancie uvedeného reaktančného obvodu!

 

Po matematických úpravách dostaneme tvar impedancie:

Je samozrejmé, že je to reaktančná funkcia (nemá odporovú zložku).

Určenie núl a pólov funkcie:

Nuly:   ,  kde 

Póly:   , 

Ak   tak ,  v nekonečne má funkcia nulu.

Nuly a póly sa u reaktančných funkcií musia striedať:

Uvedený tvar funkcie je možné odvodiť aj logickou úvahou:

- pri , C₁ nevedie js. prúd

-  predstavuje sériovú rezonanciu SRO z prvkov: C₁ + C₂ –– L

- LC₂ tvoria ideálny PRO --> pól impedancie pri

- ak , C₁ a C₂ predstavujú skrat  nula v nekonečne.

---

 

5.10.16  Uvedené zapojenie LC dvojbrány predstavuje tzv. k  polčlánok dolnopriepustného filtra (DPF). Treba analyzovať jeho prenosnú logaritmickú charakteristiku:  !

    ....rezonančná frekvencia

 

 

 ;        

Ak  ,  ^dB

Ak  ,   

Ak  ,   pri pomernej logaritmickej stupnici je to rovnica priamky so strmosťou -40 dB/dek.

 

Priebeh možno aproximovať polpriamkami 0 dB/dek.

a -40dB/dek. Pól funkcie predstavuje stav sériovej rezonancie obvodu. Ak má cievka stratový odpor platí čiarkovaný priebeh. Útlm je definovaný opačne:

.

 

Pozn.: ak nahradíme kondenzátor C rezistorom, vznikne RL dolnopriepustný filter, strmosť jeho charakteristiky však  bude menšia: -20 dB/dek.

---

 

5.10.17 Úloha: navrhnúť sériový rezonančný obvod (SRO) s nasledovnými vlastnosťami (parametrami). Rezonančná frekvencia , šírka pásma pre 3 dB nárast impedancie: , šírka pásma pre 60 dB : !  Stratový činiteľ použitých kondenzátorov je asi 10^-4 , indukčnosť cievky má byť v rozsahu , pričom sa dá u nej dosiahnuť činiteľ kvality asi 50. V obvode SRO budú ešte súčiastky s výsledným ohmickým odporom  (mimo SRO).

 

Rekapitulácia známych teoretických vzťahov pre SRO:

 . Pomerná (normovaná) impedancia:

, kde Q je kvalita SRO a F pomerné rozladenie definované ako .

Pre pomerné rozladenie pri náraste pomernej impedancie o 3 dB  

platí :   a šírka pásma je 

Pre šírku pásma pri náraste impedancie o 60dB  platí vzorec: .

Činiteľ kvality samotného SRO (naprázdno) Q₀ je daný činiteľom kvality kondenzátora Q_C a predovšetkým činiteľom kvality cievky Q_L.

;  ak  tak , 

Prevádzkový činiteľ Q závisí od výsledného ohmického odporu obvodu a je menší ako Q₀.

;   ,      

 

Pri návrhu sa vychádza zo základných požiadaviek pre f_r a B₃ ;  (Thomsonov vzorec) a  , pričom   a  . Jednu z veličín R_v, L, C musíme voliť.

Zvoľme najskôr kvôli menším rozmerom cievky najmenšiu hodnotu indukčnosti z požadovaného rozsahu, t.j.

Zo vzorca  určíme kapacitu 

Zo vzťahu pre šírku pásma určíme kvalitu obvodu 

Zo vzorca   určíme   voľba L=1 mH nebola vhodná, lebo , čo nevyhovuje zadaniu.

Nech 

 –  vyhovuje zadaniu

 

60 dB nárastu zodpovedá pomeru: 

Šírka pásma: 

Požiadavka zadania  bola nezmyselná – nerealizovateľná!

Pri danej (požadovanej) frekvencii f_r a šírke pásma B₃, už strmosť bokov charakteristiky nemôže byť ľubovoľná (činiteľ tvaru rezonančnej krivky akéhokoľvek jednoduchého rezonančného obvodu je ).

Vyššia strmosť bokov môže byť len na úkor šírky pásma B₃.

 

Vplyv hodnôt R, L, C a Q ukazujú nasledovné obrázky.

Strmosť charakteristiky určujú predovšetkým prvky L, C a v okolí f_r čiastočne R. Pri danej kvalite Q₁ je už určená veľkosť B₃ a jediný možný priebeh charakteristiky, teda čiarkovaná charakteristika so strmšími bokmi nie je možná. Charakteristiky so zadanou šírkou pásma a ľubovoľne strmými bokmi je možné realizovať len zložitejšími obvodmi – filtrami, s viacerými LC prvkami, alebo viazanými rezonančnými obvodmi.

---

 

*5.10.18 Logickou úvahou určiť typ filtrov nasledovných zapojení! Ako pomôcka môže poslúžiť úvaha o LC filtroch v kapitole 5.3.3.

 

 

 

1  – najjednoduchší DP filter

2  – DP filter, k polčlánok

3  – DP, π článok (2k polčlánky)                         

4  – DP, T článok (2k polčlánky)

5  – DP, m polčlánok 1. triedy

6  – DP, m polčlánok 2. triedy                                          

7  – HP, dva k polčlánky                                                                   

8  – HP, m polčlánok 1. triedy

9  – PP, k polčlánok

10 – PP, m polčlánok 1. triedy

11 – PP, m polčlánok 2. triedy                                                                            

12 – PZ, k polčlánok

13 – PZ, m polčlánok 1.triedy

14 – PZ, m polčlánok 2. triedy

priebeh obrazového útlmu bo:

  (ZČ.3,4)

 (ZČ.5,6) 

Požadovaný priebeh útlmovej charakteristiky sa zabezpečuje určitým počtom článkov (celkový útlm kaskády článkov je daný súčtom).

Filtre môžu začínať pozdĺžnou alebo priečnou vetvou – viď zapojenie 3 a 4.

---

 

5.10.19 Určiť význam uvedených reaktančných obvodov!

Obvod A predstavuje frekvenčnú výhybku.

Obvod B predstavuje zlučovač signálov antén pásiem VHF a UHF

---

 

5.10.20 Na obrázku je trojpásmová reproduktorová výhybka, treba priradiť na príslušné výstupy hĺbkový H, strednotónový S a výškový V reproduktor!

 

 

 

   

    

---

 

5.10.21 Vysvetliť význam LC prvkov v zapojení televízneho adaptéra (výhybky) pre anténny zosilňovač!

 

C₁ ...filtračný kondenzátor zdroja 12 V, spolu s indukčnosťou káblika vytvára LC filter.

L  ...cievka prepúšťa js. napätie na anténny zosilňovač a neprepúšťa vf signál z antény do

        napájacieho zdroja.

C₂ ...väzobný kondenzátor, neprepúšťa js. napätie napájača a prepúšťa bez útlmu signál

 z antény do vstupu televízneho prijímača

C₁, C₂ majú hodnoty x nF.

---

 

*5.10.22 Logickou úvahou a na základe informácií z kapitoly 5., analyzovať funkcie

a vlastnosti nasledujúcich reaktančných dvojpólov!

 

A.) – I. kanonický tvar, typ 3 (nula pri , pól pri ).Počet prvkov je daný: počtom interných núl a pólov, zväčšený o 1 --> počet interných núl a pólov je: 5-1 = 4. Nuly a póly sa striedajú, impedancia je samozrejme čisto reaktančná (imaginárna) a rastúca funkcia. 

 

Nulu impedancie pri , vytvára vodivá cesta L – L₁ – L₂ . Pól v nekonečne vytvára L (pri  je ). Interné póly  vytvárajú paralelné rezonančné obvody , ktoré majú v rezonancii nekonečnú impedanciu. Interné nuly realizujú zapojenia sériových rezonančných obvodov z viacerých prvkov (napr.   a ).

B.) – I. kanonický tvar, typ 1 (póly v nule aj nekonečne).

 

 

 

 

 

 

 

Pól pri  vytvára C, pól v nekonečne L.

 

C.) – II. kanonický tvar, typ 3.

Tvar charakteristiky je rovnaký ako v obvode A. Nulu pri  vytvára L, ďalšie nuly sériové rezonančné obvody L₁ – C₁ , L₂ – C₂ , pól pri    indukčnosti.

 

D.) – III. kanonický tvar, typ 1. Tvar charakteristiky je rovnaký ako v obvode B. Pól v nule vytvárajú C₁,C₂ (pri js. prúde sú ich impedancie v priečnych vetvách nekonečné). Realizovanie interných núl a pólov v priečkových zapojeniach sa jednoduchým názorným spôsobom vysvetliť nedá. (Jednu nulu napr. vytvorí sériový rezonančný obvod vytvorený z L₁ a skupiny prvkov ktoré budú mať kapacitný charakter). Pól v nekonečne vytvára L₁.

 

E.) – III. kanonický tvar, typ 4 (nuly v nule aj nekonečne).

Obvod má tri interné nuly a póly (spolu).

 

 

 

    Nulu pri ω=0 vytvára cesta L₁,L_2.

    Nulu pri  vytvára C₁.

 

 

F.) – IV. kanonický tvar, typ 1. Tvar charakteristiky je rovnaký ako v obvodoch B a D. Pól v nule vytvára C₁, pól v nekonečne vytárajú L₁ a L₂.

 

G.) – IV. kanonický tvar, typ 2

Pól v nule realizuje C₁, nulu v nekonečne vytvára sériové zapojenie C₁ – C₂ – C₃.

Aj uvedené príklady potvrdzujú fakt, že nejakú požadovanú impedančnú charakteristiku možno realizovať rôznymi spôsobmi – kanonickými ale aj ďalšími nekanonickými zapojeniami.

Pri analýze vystačíme s jednoduchými úvahami a výpočtami. Úplne iná situácia je pri syntéze LC obvodov, čo dokumentuje ďalšia úloha.

---

 

*5.10.23 Reaktančná funkcia je zadaná nulami a pólmi a konštantou H = 10^-2.

Treba ju realizovať v I. a III. kanonickej forme!

 

V reaktančných obvodoch .

Korene sú na imaginárnej osi, v jednoduchých (jednonásobných) dvojiciach: .

Je to typ 1, počet prvkov: počet interných núl a pólov +1 

Realizácia v I. kanonickej forme (typ 1)

 

Všeobecný tvar funkcie: 

Konkrétne: 

Vzorec na rozklad odštepovaním pólov – konkrétne:

 

 

 

 

 

Realizácia v III. kanonickej forme

 

Pri realizácii sa používa delenie polynómov funkcie impedancie a reciprokácia zvyškov delenia, v III. forme sa delí od ich najvyšších mocnín.

Výraz pre impedanciu treba upraviť do tvaru podielu polynómov:

;  

Podstatne zložitejšia úloha ako syntéza LC obvodov je syntéza RLC obvodov, spolu s úlohou aproximácie impedančnej charakteristiky tak, aby to bola matematická funkcia elektronicky realizovateľná. Ale to je už iný elektronický príbeh a iná matematická „liga“. Pre určovanie núl a pólov sa musí zaviesť pojem komplexnej kruhovej frekvencie  p=σ+jω.

---

 

*5.10.24 Jednou z možností realizácie LC prvkov a rezonančných obvodov, je ich realizácia pomocou homogénnych bezstratových vedení. Táto možnosť sa využíva najmä v oblasti dm a cm vĺn. Tento spôsob umožňuje dosiahnuť podstatne vyšší činiteľ kvality prvkov a obvodov ako klasickými konštrukciami diskrétnych prvkov, keď problém spôsobuje hlavne nízky činiteľ kvality (teda vysoké straty) cievky pri vysokých frekvenciách. Účelom tejto úlohy je stručná diskusia o tom, ako je možné jednoducho vytvoriť pomocou vedenia: cievky, kondenzátory, sériové a paralelné rezonančné obvody.

Pre pochopenie určitých vzorcov, vzťahov a úvah uvedieme veľmi stručne základné vlastnosti a parametre vedení. Takmer všetky vlastnosti vedení sa odvíjajú od tzv. primárnych parametrov vedenia, ktoré sú: merný odpor R [Ω/km], merná vodivosť G [µS/km], merná indukčnosť L [mH/km] a merná kapacita C [nF/km], Parametre R, G, L, C závisia od frekvencie a dajú sa vypočítať z rozmerov, usporiadania vodičov a permeability dielektrika; alebo určiť meraním. Sekundárne parametre vedenia dávajú prakticky pochopiteľnejší obraz o vlastnostiach vedenia. Dajú sa definovať matematicky z primárnych parametrov alebo zistiť praktickým meraním. Merná (špecifická) vlnová miera prenosu je:

. Reálna zložka výrazu α sa nazýva merné tlmenie [Neper/km] a imaginárna zložka β sa nazýva merný fázový posuv [rad/km]. Merný útlm spôsobuje pozdĺž vedenia utlmovanie amplitúdy napätia a prúdu (signálu), merný posuv natáčanie fázy fázorov napätia a prúdu. Na vedeniach s veľkou dĺžkou a vysokou frekvenciou signálu, závisia veličiny napätia a prúdu nielen od času, ale aj od miesta – vzdialenosti od začiatku vedenia (to je charakteristická vlastnosť zariadení s tzv. rozloženými parametrami). Pre bezstratové vedenia platí: R,G = 0, teda aj , .

Vlnová impedancia je pomocou primárnych parametrov definovaná ako:

. Pre bezstratové vedenie platí:  → impedancia je odporového charakteru (nemá reaktančnú zložku). Vlnová impedancia sa dá určiť aj meraním vedenia, vtedy platí: , kde Z_P je vstupná impedancia vedenia ukončeného naprázdno a Z_K je vstupná impedancia v stave výstupu vedenia nakrátko.

Rýchlosť šírenia vlny na vedení: , nezávisí u bezstratových vedení na frekvencii. Vlnová dĺžka  je vzdialenosť medzi dvoma najbližšími miestami vedenia s rovnakou fázou napätia (resp. prúdu) a je určená vzťahmi:  alebo .

    Lineárne homogénne bezstratové vedenia vlnovo zakončené sú ideálnou prenosovou sústavou, ktorá nespôsobuje lineárne (amplitúdové ani fázové) skreslenie a ani odrazy signálu. Každé vedenie je transformátorom impedancie, záťažnú impedanciu Z₂ pretransformuje na vstup s hodnotou Z₁.    

 

 

Ak je vedenie zakončené impedanciou Z₂ = Z, je aj vstupná impedancia rovná vlnovej: Z₁ = Z hovoríme o impedančne prispôsobenom vedení, na vedení je len postupná vlna. Ak  vzniká na konci vedenia odraz a na vedení je okrem postupujúcej aj odrazená vlna. Zvláštne prípady ukončenia vedenia sú vedenia naprázdno a nakrátko. Pre bezstratové

vedenia platí: , l je dĺžka vedenia.

Pre vedenie naprázdno platí: 

Pre vedenie nakrátko platí: 

Pri vedeniach naprázdno a nakrátko vzniká úplný odraz a stojatá vlna, hovoríme im rezonujúce vedenia. Pre realizáciu rezonančných obvodov sa používajú bezstratové vedenia naprázdno a nakrátko vlnových dĺžok  a (prípadne ich malých násobkov).

 

Úloha č.1: realizovať cievku s indukčnosťou L = 0,1 µH, kondenzátor s kapacitou C = 20 nF, sériový a paralelný rezonančný obvod! Frekvencia signálu je 200 MHz, koaxiálne vedenie je takmer bezstratové s parametrami:  

Najskôr určíme výpočtom veličiny :

; 

Filozofická poznámka:; 

vedenie (hlavne to dlhé) sa stalo symbolom vyjadrenia "schopností" určitého človeka, ktorý "má dlhé vedenie" alebo "si stojí na kábli". Za elektrický dlhé sa považuje vedenie s dĺžkou . Ak je napr. frekvencia signálu f = 10 GHz, "dlhé" vedenie je teda mm. Ak má vedenie dĺžku l = 1000 km - čo je už "dobrá" dĺžka, signál sa pri rýchlosti šírenia asi 250000 km/s dostane zo začiatku na koniec vedenia za čas 4 ms. Aj najbystrejší šprintér nedokáže zmyslovo a svalovo reagovať na štartovací výstrel skôr ako za čas 0,1 s. Čitateľ iste uzná, že elektrické vedenie si prívlastok dlhé a retardované nezaslúži.

Realizácia pomocou vedenia zakončeného nakrátko:

 

Vlastnosti vedenia: